子は二重国籍なので、外国人登録はできません。外国人登録は日本に在住する外国人を登録する制度です。
この制度上の外国人とは、日本国籍を有しない者のうち、短期滞在などの許可を受けた者以外の者を指します。
したがって二重国籍者は、外国人登録はできません。
二重国籍の子が外国人登録をするためには、日本国籍を離脱すればできます。
日本国籍の離脱は、法務大臣に対する届出をすることによってできます。
